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ZAHLENJAGD

Denksport mit Gewinnmöglichkeit
Donnerstag, 21.09.2017, 01:43 Uhr
Mit Hilfe des nach HERON von Alexandria (um 60 n. Chr.) benannten Verfahrens ist es möglich, die Quadratwurzel einer positiven Zahl ausschließlich mit Hilfe der elementaren Grundrechenoperationen zu ermitteln.
Das Verfahren liefert schrittweise immer bessere Näherungen für den Wert √a.
Um nun den Wert √a näherungsweise zu ermitteln, werden folgende drei Schritte benötigt:

 
Beschreibung
Beispiel √17
1. Schritt
Festlegen einer ersten Näherung x1 mit x1 > √a.
x1 = 5, da 42 = 16 und 52 = 25.
2. Schritt
Berechnen des Ausdrucks (a/x1).
a/x1 = 17/5 = 3,4
3. Schritt
Berechnen des arithmetischen Mittels aus den beiden Werten x1 und a/x1.
1/2.(x1 + a/x1) = 4,2

Das gebildete arithmetische Mittel wird mit x2 bezeichnet und ist ein besserer Näherungswert für den gesuchten Ausdruck √a, denn es gilt:

Aufgrund der Voraussetzung

Formel 01

ergibt sich für die Kehrwerte

Formel 02

und durch Multiplikation mit dem Faktor a (> 0) die Gleichung:

Formel 03

Da das geometrische Mittel zweier Zahlen niemals größer als das entsprechende arithmetische Mittel sein kann, gilt ferner:

Formel 04

Zusätzlich erhält man aus der Voraussetzung

Formel 01

durch Quadrieren die Gleichung

Formel 05

und damit:

Formel 06

Somit ergibt sich insgesamt:

Formel 07

Für das Beispiel √17 gilt bekanntlich:

1. Näherung
x1 = 5
2. Näherung
x2 = 4,2



Nun können die obigen Schritte stets wiederholt werden, indem das arithmetische Mittel aus den jeweiligen Näherungswerten gebildet wird,
d.h. es gilt

Formel
Beispiel √17
Formel 08
x3 = 4,1238095
Formel 09
x4 = 4,1231057
Formel 10
x5 = 4,1231056

und allgemein:

Formel 11

Das HERON´sche Verfahren kann durch Verallgemeinerung zu einem Näherungsverfahren für die k-te Wurzel einer (nicht negativen) Zahl a ausgebaut werden.
In diesem Fall gilt bei Verwendung einer ersten Näherung die Gleichung

Formel 12.
Das HERON´sche Verfahren
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