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Mathematikaufgaben online lösen
Donnerstag, 27.07.2017, 10:51 Uhr
In vielen Rätselecken findet sich die Zahlenreihe


1
2
4
?


verbunden mit der Fragestellung, welche Zahl an Stelle des Fragezeichens "logischerweise" einzusetzen ist.

Bei den meisten Zahlenrätseln wird im allgemeinen
folgende Begründung gegeben:
Die Reihenfolge der Zahlen gehorcht einer bestimmten Funktionsgleichung, in die die natürlichen Zahlen - meist mit 1 beginnend - fortlaufend eingesetzt werden.
Für die logische Fortsetzung der eingangs zitierten Zahlenreihe <2, 4, 8, ...> wird meist das Bildungsgesetz f(x) = 2x verwendet.
Gleichzeitig entsteht in diesem Fall eine geometrische Folge, da jedes neue Folgenglied durch Verdoppeln des vorherigen Folgengliedes gebildet wird.

Somit lautet die logische Fortsetzung 16.

Das Bildungsgesetz f(x) = 2x ist aber keineswegs das einzige,
das die Zahlenreihe <2, 4, 8, ...> erzeugt.

Wird nämlich das Bildungsgesetz f(x) = x2 - x + 2 verwendet,
so erhält man folgende Wertetabelle:

x
f(x)
1
f(1) = 2
2
f(2) = 4
3
f(3) = 8
4
f(4) = 14

In diesem Fall lautet also die logische Fortsetzung 14.

Allgemein kann

die - endliche - Zahlenfolge <2, 4, 8, a, ...>

mit Hilfe des Bildungsgesetzes

f(x) = (a/6 - 7/3)x3 + (15 - a)x2- (11a/6 - 80/3)x + (16 - a)

erzeugt werden.

Damit können etwa folgende Zahlenreihen gebildet werden:

Zahlenreihe
Bildungsgesetz
<2, 4, 8, 10, ...>
f(x) = (-2/3)x3 + 5x2 - (25/3)x + 6
<2, 4, 8, 11, ...>
f(x) = (-1/2)x3 + 4x2 - (13/2)x + 5
<2, 4, 8, 14, ...>
f(x) = x2 - x + 2
<2, 4, 8, 15, ...>
f(x) = (1/6)x3 + (5/6)x + 1

Sollen nun weitere Folgenglieder einer bestimmten Gesetzmäßigkeit gehorchen, so muß der Grad des Bildungsgesetzes erhöht werden, d.h. z. B. eine Funktion der Form f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, ... entwickelt werden.
So kann etwa für die Zahlenfolge <2, 4, 8, 16, a, ...> das Bildungsgesetz

Formel 01

verwendet werden.

Auch die eingangs zitierte Zahlenfolge kann mit Hilfe einer Polynomfunktion erzeugt werden. In diesem Fall wird die Funktion f(x) = 2x in eine Potenzreihe entwickelt, d.h. es gilt:

Formel 02
Logische Fortsetzung
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