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Mathematikaufgaben online lösen
Sonntag, 23.07.2017, 20:52 Uhr
Ein Autofahrer nähert sich bei trockener Fahrbahn und klaren Sichtverhältnissen einer durch Lichtzeichen geregelten Kreuzung.

Ab welcher Entfernung muß er bremsen und bis zu welcher Entfernung kann er durchstarten, wenn das Fahrzeug mit einer Geschwindigkeit von 35 km/h fährt, der Kreuzungsbereich eine Länge von sieben Meter besitzt und die Ampel in drei Sekunden auf "Gelb" und in fünf Sekunden auf "Rot" schaltet ?

Prinzipell stehen dem Autofahrer die drei im folgenden näher beschriebenen Varianten Weiterfahren - Durchstarten - Bremsen zur Verfügung, wobei insbesondere zu beachten ist, daß ein Fahrzeug bei "Gelb" nicht mehr in den Kreuzungsbereich fahren darf und bei "Rot" den Kreuzungsbereich verlassen haben muss (vgl. kleine österreichische Ampelkunde).

Variante 1: Weiterfahren

Ein Weiterfahren mit der bisherigen Geschwindigkeit
ist in zwei Fällen möglich:
Entweder hat das Fahrzeug bei "Gelb" den Kreuzungsbereich bereits verlassen oder das Fahrzeug fährt vor der Gelbphase in den Kreuzungsbereich und verläßt diesen während der Gelbphase.

Rein physikalisch handelt es sich beim Weiterfahren um eine nicht beschleunigte Bewegung, rein mathematisch um eine lineare Funktion, deren Steigung in diesem Beispiel den Wert (175/30) = 9,7222
(35 km/h entsprechen annähernd 9,7222 m/s) hat.

Es gilt somit: W(x) = (175/30).x

Variante 2: Durchstarten

Analog wie bei der ersten Variante des Weiterfahrens sind hier zwei Fälle (Fahrzeug hat bei der Gelbphase den Kreuzungsbereich bereits verlassen bzw. Fahrzeug fährt vor "Gelb" in die Kreuzung und noch vor "Rot" wieder aus dem Kreuzungsbereich) möglich.

Physikalisch handelt es sich bei dieser Variante um eine Kombination einer nicht beschleunigten Bewegung (Weiterfahren während der Reaktionssekunde) mit einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung (Durchstarten nach der Reaktionssekunde).

Mathematisch läßt sich der Sachverhalt des Durchstartens durch eine abschnittsweise definierte Funktion D(x) beschreiben. Dabei entspricht die Durchstartfunktion D(x) während der ersten Sekunde der Weiterfahrfunktion W(x), d.h. D(x) = W(x) für 0 < x < 1.
Danach wird der Durchstartvorgang mit Hilfe der quadratischen Funktion D(x) = W(x) + (0,6944/2).(x - 1)2, wobei als Beschleunigung der Wert 0,6944 m/s2 (dies entspricht einer Steigerung der Geschwindigkeit um fünf km/h innerhalb von zwei Sekunden) angenommen wird.

Variante 3: Bremsen

Der Bremsvorgang ist wie das Durchstarten eine Kombination einer nicht beschleunigten Bewegung mit einer (in diesem Fall mit einem negativen Vorzeichen versehenen) gleichmäßig beschleunigten Bewegung.

Somit erfolgt auch die mathematische Beschreibung des Bremsvorganges durch eine abschnittsweise definierte Funktion, welche während der ersten Sekunde der Weiterfahrfunktion W(x) entspricht, d.h.
es gilt: B(x) = W(x) für 0 < x < 1.

Ab dem Beginn der zweiten Sekunde wird jedoch die Bremsung durch die Formel B(x) = W(x) - (4/2).(x - 1)2 beschrieben.

In dieser Formel wird - in Anlehnung an die beiden "Fahrschulformeln"

Reaktionsweg in Meter = (3/10).(Geschwindigkeit in km/h)

und

Bremsweg in Meter = (1/10).(Geschwindigkeit in km/h)2 -

eine Bremsbeschleunigung von 4 m/s2 verwendet.

Die Bremsfunktion B(x) entspricht allgemein einer quadratischen Funktion der Form f(x) = a.x - b.(x - 1)2, welche ihren Hochpunkt (allgemeiner: Scheitel) an der Stelle x = (a + 2b)/2b besitzt. Und genau in diesem Hochpunkt kommt das Fahrzeug nach dem Bremsvorgang zum Stillstand.

Fazit:

Ein Abbremsen vor dem Kreuzungsbereich ist genau dann erfolgreich, wenn für die Bremsfunktion B(x) die Ungleichung

B[(a + 2b)/2b] ≤ KA
(in unserem Beispiel für a = (175/30) und b = 4)

erfüllt ist.

Ab dem Zeitpunkt x = (a + 2b)/2b steht das Fahrzeug, weshalb die Bremsfunktion B(x) in die konstante (d.h. vom Zeitpunkt x unabhängige) Funktion W[(a + 2b)/2b] - (4/2).[(a + 2b)/2b - 1]2 übergeht.



Die Animation dieses Beitrags enthält neben dem grau schraffierten Kreuzungsbereich die Weiterfahrfunktion W(x), die Durchstartfunktion D(x) sowie die Bremsfunktion B(x).
Gleichzeitig werden Antworten auf die Frage "Bremsen, Durchstarten oder einfach nur Weiterfahren ?" für verschiedene Entfernungen des Fahrzeuges vom Kreuzungsbereich geliefert.
Bremsen oder Durchstarten ?
Eine kleine ÖSTERREICHISCHE Ampelkunde (gemäß §38 STVO 1960):

Rot bedeutet "Halt":
Alle Verkehrsteilnehmer müssen anhalten. Fußgängerinnen und Fußgänger dürfen die Fahrbahn nicht mehr betreten.

Gelb (nichtblinkend) bedeutet "Halt":
Alle sich der Kreuzung nähernden Fahrzeuge bzw. Fußgänger müssen anhalten. Verkehrsteilnehmer, die sich bereits auf der Kreuzung befinden, müssen diese rasch verlassen.

Grün bedeutet
"Freie Fahrt":

Das Betreten und Befahren der Fahrbahn ist erlaubt.

Grün (blinkend) bedeutet "Freie Fahrt endet in Kürze":
Das Ende der Grünphase wird durch ein viermaliges Grünblinken angekündigt.
Das Befahren bzw. Betreten der Kreuzung ist noch erlaubt.

Gelb (blinkend) bedeutet "Vorsicht":
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