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ZAHLENJAGD

Denksport mit Gewinnmöglichkeit
Donnerstag, 21.09.2017, 01:47 Uhr
Stellen Sie sich folgende Situation vor:

Ein Arbeitgeber bietet Ihnen ein Jahresgehalt von € 10.000,-- und eine regelmäßige Gehaltssteigerung an. Dabei können Sie wählen, ob sie
  • nach jedem Jahr um € 1.000,--
  • nach jedem Semester um € 250,--
mehr erhalten.

Für welche Variante würden Sie sich entscheiden ?

Die meisten Menschen tendieren vermutlich aufgrund der Überlegung

2. € 250,-- < 1. € 1.000,--

zu Variante A.

Daß jedoch Variante B letztendlich mehr Gehalt ermöglicht,
zeigt die folgende Gegenüberstellung:

Semester
Variante A
Variante B
 
Höhe
Summe
Höhe
Summe
 
 
 
 
 
1
€ 5.000,--
€ 5.000,--
€ 5.000,--
€ 5.000,--
2
€ 5.000,--
€ 10.000,--
€ 5.250,--
€ 10.250,--
3
€ 5.500,--
€ 15.500,--
€ 5.500,--
€ 15.750,--
4
€ 5.500,--
€ 21.000,--
€ 5.750,--
€ 21.500,--
5
€ 6.000,--
€ 27.000,--
€ 6.000,--
€ 27.500,--
6
€ 6.000,--
€ 33.000,--
€ 6.250,--
€ 33.750,--


Variante B liefert offensichtlich bereits nach dem ersten Jahr eine höhere Summe aller ausbezahlten Gehälter.

Und wie sieht die Entscheidung aus, wenn das Gehalt bei Variante B nur um € 200,-- angehoben wird ?

Aufgrund der bisherigen Ausführungen ist man dazu geneigt, auch in diesem Fall der Variante B den Vorzug zu geben. Eine Adaptierung der oberen Tabelle liefert für die ersten beiden Jahre:

Semester
Variante A
Variante B
 
Höhe
Summe
Höhe
Summe
 
 
 
 
 
1
€ 5.000,--
€ 5.000,--
€ 5.000,--
€ 5.000,--
2
€ 5.000,--
€ 10.000,--
€ 5.200,--
€ 10.200,--
3
€ 5.500,--
€ 15.500,--
€ 5.400,--
€ 15.600,--
4
€ 5.500,--
€ 21.000,--
€ 5.600,--
€ 21.200,--


Auch in diesem Fall ist offensichtlich Variante B bereits nach dem ersten Jahr die bessere Wahl.
Rechnet man jedoch weiter, so erhält man für die Folgejahre:

Semester
Variante A
Variante B
 
Höhe
Summe
Höhe
Summe
 
 
 
 
 
5
€ 6.000,--
€ 27.000,--
€ 5.800,--
€ 27.000,--
6
€ 6.000,--
€ 33.000,--
€ 6.000,--
€ 33.000,--
7
€ 6.500,--
€ 39.500,--
€ 6.200,--
€ 39.200,--
8
€ 6.500,--
€ 46.000,--
€ 6.400,--
€ 45.600,--


Die Summe aller erhaltenen Gehälter ist demnach während des dritten Jahres bei beiden Varianten gleich hoch und ab dem vollendeten siebten Semester bei Variante A besser.
Es ist also in diesem Falle klüger, sich für Variante A zu entscheiden.

Dies wirft die Frage auf, wie hoch die regelmäßige Gehaltssteigerung bei Variante B (mindestens) sein muss, um ab dem vollendeten ersten Arbeitsjahr "auf alle Fälle" eine höhere Gehaltssumme zu kassieren.

Bezeichnet man mit x die Zahl der Dienstjahre, so erhält man - dank der Summenformel für eine endlich arithmetische Reihe - für die Gehaltssumme bei Variante A

Jahr
Gehaltssumme
 
 
1
10000
2
21000 = 10000.2 + 1000.1
3
33000 = 10000.3 + 1000 + 2000 = 10000.3 + 1000.(1 + 2)
4
46000 = 10000.4 + 1000 + 2000 + 3000
46000 = 10000.4 + 1000.(1 + 2 + 3)
x
10000.x + 1000.[1 + 2 + ... + (x - 1)] =
10000.x + 1000.[x.(x - 1)]/2



und bei Variante B

Jahr
Gehaltssumme
 
 
1
10200 = 10000.1 + 200.1
2
21200 = 10000.2 + 200 + 1000 = 10000.2 + 200.(1 + 5)
3
33000 = 10000.3 + 200 + 1000 + 1800
33000 = 10000.3 + 200.(1 + 5 + 9)
4
45600 = 10000.4 + 200 + 1000 + 1800 + 2600
45600 = 10000.4 + 200.(1 + 5 + 9 + 13)
x
10000.x + 200.{1 + 5 + ... + [4.(x - 1)+1]} =
10000.x + 200.x.(2x - 1)



Setzt man beide Gehaltssummen nach x Jahren gleich, so erhält man - wie bereits aus obiger Gegenüberstellung ersichtlich - für x den Wert 3.

Um nun zu einer Erhöhung von € a,-- bei Variante A jenen (Mindest-)Betrag von € b,--, ab dem Variante B mit absoluter Sicherheit ab dem vollendeten ersten Dienstjahr eine höhere Gesamtsumme ermöglicht, zu erhalten, erstellt man den Ansatz

10000.x + a.[x.(x - 1)]/2 < 10000.x + b.x.(2x - 1).

Dies liefert nach Umformen für b die Bedingung

b > a.(x - 1)/[2.(2x - 1)].

Damit nun die Gehaltssummenkurve der Variante B in keinem Jahr x von jener der Variante A "eingeholt" wird, betrachtet man die Folge

a(x - 1)/[2.(2x - 1)]

für x gegen ∞:

Da die einzelnen Folgenglieder dank der (trivialen) Beziehungen

- 2a < 0 bzw. x < 2x

streng monoton wachsend und zugleich (etwa durch 0,5.a) nach oben beschränkt sind, besitzt diese Folge - unter Zuhilfenahme der Regel von de L´Hospital - den Grenzwert a/4.

Dies bedeutet:
Einer Gehaltserhöhung von € a,-- pro Jahr ist genau dann eine Gehaltserhöhung von € b,-- pro Semester vorzuziehen, wenn b mindestens den Wert a/4 besitzt.



Das Säulendiagramm der Animation zeigt das Verhalten der beiden Gehaltssummen (die roten Säulen entsprechen der Variante A, die blauen der Variante B) für verschiedene Parameter der Variablen a und b in den ersten acht Dienstjahren.
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