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ZAHLENJAGD

Denksport mit Gewinnmöglichkeit
Sonntag, 23.07.2017, 20:50 Uhr
Wer kennt nicht den Slogan "Satte Rabatte ! Diesen Freitag und Samstag gibt es minus 25 % auf alle (...) Produkte. Und beim Einlösen des Rabattsammlers gibt es nochmals bis zu minus 20 %.
Das sind dann (...) viele Prozent."


Aber wie viele Prozent Preisnachlass sind dies nun wirklich ?

Die Antwort auf diese Frage liefert eine (einfache) Tabelle, bei der in der linken Spalte ein konkreter Einkaufswert für (am einfachsten ist vermutlich der Wert) € 100,-- und in der rechten Spalte ein allgemeiner Einkaufswert von € x,-- als Basis angenommen wird.

Beschreibung
Beispiel
Verallgemeinerung
Einkaufswert
€ 100,--
€ x,--
"Satte Rabatte"-Bonus in Höhe von 25 %
€ 100,--.(25/100) =
= € 25,--
€ x,--.(25/100) =
= € (x/4),--
Einkaufswert nach Abzug des "Satte Rabatte"-Bonus
€ 100,-- - € 25,-- =
= € 75,--
€ x,-- - € (x/4),-- =
= € (3x/4),--
20 %-Preisnachlass durch Rabattsammler
€ 75,--.(20/100) =
= € 15,--
€ (3x/4),--.(20/100) =
= € (3x/20),--
Endbetrag
€ 75,-- - € 15,-- =
= € 60,--
€ (3x/4),-- - € (3x/20),-- =
= € (3x/5),--

Der gesamte Preisnachlass beträgt daher insgesamt 40 %.

Und wie verhält es sich, wenn von einem Rechnungsbetrag zuerst der Rabattsammler–Bonus abgezogen und erst danach
der 25 %-Bonus gewährt wird ?


Da bei einer Multiplikation die Reihenfolge der Faktoren keine Rolle spielt, ergibt sich auch in diesem Fall ein (Gesamt–)Preisnachlass von 40 %,
denn es gilt:

€ 100,-- - € 100,--.(20/100) = € 100,--.(80/100) = € 80,--
€ 80,-- - € 80,--.(25/100) = € 80,--.(75/100) = € 60,--


In verkürzter Schreibweise gilt daher:

€ 100,--.(80/100).(75/100) = € 100,--.(75/100).(80/100) = € 60,--

Wie hoch müsste eigentlich der Rabattsammler–Bonus (in Prozenten) sein, damit ein Einkaufswert nach Abzug des "Satte Rabatte"–Bonus (25 %) AUF die Hälfte (ist übrigens mit der Aussage UM die Hälfte ident)
reduziert wird ?


Offensichtlich gilt nicht 25 % + 25 % = 50 %, denn

€ 100,--.(75/100).(75/100) = € 56,25 = € 100,--.(56,25/100)

Wird also zweimal ein Rabatt von jeweils 25 % gewährt, so beträgt der gesamte Preisnachlass (nur) 43,75 %.

Um nun zu einer (ersten) Preisreduzierung von 25 % eine (zweite) Preisreduzierung, die den ursprünglichen Einkaufswert auf die Hälfte senkt, zu ermitteln, muß gelten:

€ 100,--.((100 - 25)/100).((100 - x)/100) = € 100,--.(50/100)

Diese Gleichung ist von der Höhe des Einkaufswertes unabhängig, da auf beiden Seiten der Gleichung durch diesen Betrag (€ 100,--) gekürzt werden kann.
Durch weitere Umformungen erhält man:

((100-25)/100).(100 - x)) = 50

(75/100).(100 - x)) = 50

(3/4).(100 - x)) = 50

100 - x = (200/3)

x = 100 - (200/3) = (100/3) = 33,3 %


Um einen ursprünglichen Einkaufswert auf seine Hälfte zu reduzieren, müsste also zu einem 25 %–"Satte Rabatte"–Bonus noch ein zusätzlicher Rabattsammler–Bonus von 33,3 % gewährt werden.
Allgemein kann die Beziehung zwischen zwei (einzelnen) Preisveränderungen von p1 % und p2 % und einer gesamten Preisveränderung in der Höhe von p % wie folgt dargestellt werden.

€ 100,--.((100 + p1)/100).((100 + p2)/100) = € 100,-- .((1 + p)/100)

((100 + p1)/100).(100 + p2) = 1 + p

(100 + p1).(100 + p2) = 100 + 100p


Daraus ergeben sich die Gleichungen

p = ((p1 + 100).(p2 + 100))/100 - 100

p1 = 100.(((p + 100)/(p2 + 100)) - 1)

p2 = 100.(((p + 100)/(p1 + 100)) - 1)

Zum Schluss noch eine kleine Wertetabelle, die den Zusammenhang zwischen den Größen p1, p2 und p für ausgewählte Zahlenwerte darstellt.

1. Preisveränderung
2. Preisveränderung
Gesamte Preisveränderung
− 5 %
− 3 %
− 7,85 %
− 10 %
− 3 %
− 12,7 %
− 10 %
− 5 %
− 14,5 %
− 10 %
− 10 %
− 19 %
− 20 %
− 10 %
− 28 %
+ 25 %
− 20 %
0 %
+ 20 %
− 16,6 %
0 %
+ 50 %
− 50 %
− 25 %
+ 100 %
− 100 %
− 100 %
Satte Rabatte
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