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ZAHLENJAGD

Denksport mit Gewinnmöglichkeit
Sonntag, 23.07.2017, 20:50 Uhr
Die vermutlich am häufigsten gestellte Frage beim Lotto "6 aus 45" lautet:

"Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat man mit einem Lotto-Tipp sechs Richtige ?"

"Sechs Richtige" hat ein Spielteilnehmer genau dann, wenn die sechs in einem Lotto-Tipp angekreuzten Zahlen mit den sechs bei einer Lotto-Ziehung ermittelten Gewinnzahlen übereinstimmen.
Dabei gilt:
Die Wahrscheinlichkeit, daß die erste gezogene Gewinnzahl mit einer der vom Spielteilnehmer angekreuzten Zahlen übereinstimmt, beträgt (6/45).
Da die Ziehung der Gewinnzahlen ohne Zurücklegen erfolgt, ist die Chance, daß die zweite Gewinnzahl angekreuzt wurde, (5/44).

Aufgrund der Multiplikationsregel erhält man daher:

P(sechs richtige Gewinnzahlen) =
= (6/45).(5/44).(4/43).(3/42).(2/41).(1/40) =
= (1/8145060) = 0,00001228 %.

"Fünf Richtige" hat ein Spielteilnehmer genau dann, wenn exakt fünf der sechs Gewinnzahlen angekreuzt wurden.
Für die Zugfolge TTTTTN (T für Treffer, N für Niete) ergibt sich somit:

P(Zugfolge TTTTTN) = (6/45).(5/44).(4/43).(3/42).(2/41).(39/40) =
= (39/8145060) = 0,0004788 %

Da es 6 verschiedene Zugfolgen mit genau 5 Treffern und 1 Niete (z.B. TTNTTT oder TTTTNT) gibt und jede dieser Zugfolgen (aufgrund der kommutativen Multiplikation) die gleiche Wahrscheinlichkeit wie die Zugfolge TTTTTN besitzt, erhält man

P(fünf richtige Gewinnzahlen) =
= 6.(6/45).(5/44).(4/43).(3/42).(2/41).(39/40) =
= (234/8145060) = 0,002873 %.

Analog ergeben sich:

P(vier richtige Gewinnzahlen) =
= 15.(6/45).(5/44).(4/43).(3/42).(39/41).(38/40) =
= (11115/8145060) = 0,136 %

P(drei richtige Gewinnzahlen) =
= 20.(6/45).(5/44).(4/43).(39/42).(38/41).(37/40) =
= (182780/8145060) = 2,244 %

P(zwei richtige Gewinnzahlen) =
= 15.(6/45).(5/44).(39/43).(38/42).(37/41).(36/40) =
= (1233765/8145060) = 15,147 %

P(eine richtige Gewinnzahl) =
= 6.(6/45).(39/44).(38/43).(37/42).(36/41).(35/40) =
= (3454542/8145060) = 42,413 %

P(keine richtige Gewinnzahl) =
= (39/45).(38/44).(37/43).(36/42).(35/41).(34/40) =
= (3262623/8145060) = 40,056 %

Dabei fällt auf, daß

P(eine richtige Gewinnzahl) > P(keine richtige Gewinnzahl)

gilt, d.h. beim Lotto "6 aus 45" ist die Wahrscheinlichkeit, in einem Lotto-Tipp genau eine Gewinnzahl angekreuzt zu haben, größer als die Wahrscheinlichkeit, keine der sechs Gewinnzahlen angekreuzt zu haben.

Nach den sechs Gewinnzahlen wird bei jeder Lotto-Ziehung noch eine siebente Zahl als Zusatzzahl gezogen. Diese Zusatzzahl ist für jene Tippreihen, die mindestens drei und höchstens fünf Übereinstimmungen mit den sechs Gewinnzahlen aufweisen, von Bedeutung.
Ist nämlich die sechste vom Spielteilnehmer angekreuzte Zahl mit der Zusatzzahl ident, so ist nicht nur der Gewinnrang, sondern im allgemeinen auch der Gewinn selbst höher.

Befinden sich in einem Lotto-Tipp nach Ziehung der sechs Gewinnzahlen genau fünf Richtige, so ist die Chance, daß die sechste angekreuzte Zahl der Zusatzzahl entspricht, gerade (1/40).

Es gilt daher:

P(fünf richtige Gewinnzahlen und Zusatzzahl) =
= 6.(6/45).(5/44).(4/43).(3/42).(2/41).(1/40) =
= (6/8145060) = 0,007336 %.

Gleichzeitig ist die Chance, daß bei fünf Richtigen in einem Tipp die sechste angekreuzte Zahl nicht der Zusatzzahl entspricht, gerade (38/40) womit in diesem Fall

P(fünf richtige Gewinnzahlen ohne Zusatzzahl) =
= 6.(6/45).(5/44).(4/43).(3/42).(2/41).(38/40) =
= (228/8145060) = 0,00279924 %.

gilt.

In ähnlicher Weise erhält man daher:

P(vier richtige Gewinnzahlen und Zusatzzahl) =
= 15.(6/45).(5/44).(4/43).(3/42).(1/41).(38/40).2 =
= (570/8145060) = 0,00699811 %.

P(vier richtige Gewinnzahlen ohne Zusatzzahl) =
= 15.(6/45).(5/44).(4/43).(3/42).(38/41).(37/40) =
= (10545/8145060) = 0,12946498 %.


P(drei richtige Gewinnzahlen und Zusatzzahl) =
= 20.(6/45).(5/44).(4/43).(1/42).(38/41).(37/40).3 =
= (14060/8145060) = 0,17261997 %.

P(drei richtige Gewinnzahlen ohne Zusatzzahl) =
= 20.(6/45).(5/44).(4/43).(38/42).(37/41).(36/40) =
= (168720/8145060) = 2,07143962 %.


P(keine richtige Gewinnzahl, aber Zusatzzahl) =
= 6.(1/45).(38/44).(37/43).(36/42).(35/41).(34/40) =
= (501942/8145060) = 6,16253287 %.


Damit erhält man folgende Gewinntabelle für das Lotto "6 aus 45":

P(6 richtige Gewinnzahlen)
0,00001228 %
P(5 richtige Gewinnzahlen und Zusatzzahl)
0,00007366 %
P(5 richtige Gewinnzahlen)
0,00279924 %
P(4 richtige Gewinnzahlen und Zusatzzahl)
0,00699811 %
P(4 richtige Gewinnzahlen)
0,13 %
P(3 richtige Gewinnzahlen und Zusatzzahl)
0,173 %
P(3 richtige Gewinnzahlen)
2,0713 %
P(richtige Zusatzzahl)
6,163 %
Gewinntabelle
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