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ZAHLENJAGD

Denksport mit Gewinnmöglichkeit
Donnerstag, 21.09.2017, 01:48 Uhr
Bei der Ziehung der Lottozahlen stellt so manche[r] Spielteilnehmer[in] fest, daß getreu dem Motto "Knapp daneben ist auch vorbei." eine oder mehrere der sechs Gewinnzahlen auf dem Spielschein unmittelbar neben einer der sechs getippten Zahlen liegt bzw. liegen.
Und bei Betrachtung der Ziehungsergebnisse mehrerer aufeinander folgender Lottorunden zeigt sich nicht selten, daß unter den sechs Gewinnzahlen zumindest zwei aufeinander folgende Zahlen sind.

Aber:
"Wie groß ist tatsächlich die Wahrscheinlichkeit, daß unter den sechs Gewinnzahlen einer Lottoziehung keine zwei Zahlen benachbart sind ?"

Um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, ist ein kleiner Griff in die Trickkiste nötig:
Wenn unter den sechs numerisch aufsteigend geordneten Gewinnzahlen

1 ≤ x1 < x2 < x3 < x4 < x5 < x6 ≤ 45

einer Lottoziehung keine zwei aufeinander folgenden Gewinnzahlen benachbart sein dürfen, so müssen sie sich um mindestens zwei Einheiten unterscheiden, d.h. es muß

xi < xi + 1 - 1

gelten.

Für die eingangs aufsteigend geordneten Gewinnzahlen erhält man dadurch die Bedingung

1 ≤ x1 < x2 - 1 < x3 - 2 < x4 - 3 < x5 - 4 < x6 - 5 ≤ 40.

Somit bleibt die Frage, wie viele Ziehungsergebnisse der Form {y1, y2, y3, y4, y5, y6} mit der Eigenschaft

1 ≤ y1 < y2 < y3 < y4 < y5 < y6 ≤ 40

gebildet werden können.

Da die Antwort auf diese Frage Formel 01 lautet, erhält man für die Wahrscheinlichkeit, daß unter den sechs Gewinnzahlen einer Lottoziehung keine zwei Zahlen benachbart sind,

Formel 02

d.h. es ist bei jeder (!) Lottoziehung eher damit zu rechnen, daß zumindest zwei der sechs Gewinnzahlen benachbart sind.

Und wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, daß unter den sechs Gewinnzahlen einer Lottoziehung genau zwei, drei, ... Gewinnzahlen benachbart sind ?

Bei der Klärung dieser Frage startet man am einfachsten mit dem Fall, daß alle sechs Gewinnzahlen benachbart sind.
Hier gibt es die insgesamt 40 Möglichkeiten von {1, 2, 3, 4, 5, 6} bis {40, 41, 42, 43, 44, 45}, sodaß

Formel 03

gelten muss.

Die soeben berechnete Wahrscheinlichkeit kann aber auch durch Modifizieren des weiter oben vorgestellten Modells
1 ≤ x1 < x2 - 1 < x3 - 2 < x4 - 3 < x5 - 4 < x6 - 5 ≤ 40
ermittelt werden.
Da nämlich bei sechs benachbarten Gewinnzahlen die fortgesetzte Gleichung

x6 = x5 + 1 = x4 + 2 = x3 + 3 = x2 + 4 = x1 + 5

gelten muss, reduziert sich das Modell
1 ≤ x1 < x2 - 1 < x3 - 2 < x4 - 3 < x5 - 4 < x6 - 5 ≤ 40
auf die Bedingung

1 ≤ x1 ≤ 40,

da mit der ersten Gewinnzahl x1 auch alle anderen Gewinnzahlen x2 bis x6 eindeutig bestimmt sind.

Und da es trivialerweise Formel 04 Möglichkeiten gibt, eine Zahl aus insgesamt 40 Zahlen auszuwählen, erhält man die bereits angegebene Formel.

Ähnlich verhält es sich mit den übrigen Fällen, die im folgenden tabellarisch aufgelistet sind:

Fünf benachbarte Gewinnzahlen:

Benachbarte Gewinnzahlen
Gesuchte Zahlen
Möglichkeiten
x1, x2, x3, x4, x5
x1, x6
Formel 05
x2, x3, x4, x5, x6
x1, x2
Formel 05

Formel 06


Vier benachbarte Gewinnzahlen:

Benachbarte Gewinnzahlen
Gesuchte Zahlen
Möglichkeiten
x1, x2, x3, x4
x1, x5, x6
Formel 07
x2, x3, x4, x5
x1, x2, x6
Formel 07
x3, x4, x5, x6
x1, x2, x3
Formel 07

Formel 08

Einmal vier und einmal zwei benachbarte Gewinnzahlen:

Benachbarte Gewinnzahlen
Gesuchte Zahlen
Möglichkeiten
x1, x2, x3, x4 sowie x5, x6
x1, x5
Formel 05
x3, x4, x5, x6 sowie x1, x2
x1, x3
Formel 05

Formel 06


Drei benachbarte Gewinnzahlen:

Benachbarte Gewinnzahlen
Gesuchte Zahlen
Möglichkeiten
x1, x2, x3
x1, x4, x5, x6
Formel 09
x2, x3, x4
x1, x2, x5, x6
Formel 09
x3, x4, x5
x1, x2, x3, x6
Formel 09
x4, x5, x6
x1, x2, x3, x4
Formel 09

Formel 10


Zweimal drei benachbarte Gewinnzahlen:

Benachbarte Gewinnzahlen
Gesuchte Zahlen
Möglichkeiten
x1, x2, x3 sowie x4, x5, x6
x1, x4
Formel 05

Formel 11


Einmal drei und einmal zwei benachbarte Gewinnzahlen:

Benachbarte Gewinnzahlen
Gesuchte Zahlen
Möglichkeiten
x1, x2, x3 und x4, x5
x1, x4, x6
Formel 07
x1, x2, x3 und x5, x6
x1, x4, x5
Formel 07
x2, x3, x4 und x5, x6
x1, x2, x5
Formel 07
x3, x4, x5 und x1, x2
x1, x3, x6
Formel 07
x4, x5, x6 und x1, x2
x1, x3, x4
Formel 07
x4, x5, x6 und x2, x3
x1, x2, x4
Formel 07

Formel 12


Einmal zwei benachbarte Gewinnzahlen:

Benachbarte Gewinnzahlen
Gesuchte Zahlen
Möglichkeiten
x1, x2
x1, x3, x4, x5, x6
Formel 13
x2, x3
x1, x2, x4, x5, x6
Formel 13
x3, x4
x1, x2, x3, x5, x6
Formel 13
x4, x5
x1, x2, x3, x4, x6
Formel 13
x5, x6
x1, x2, x3, x4, x5
Formel 13

Formel 14


Zweimal zwei benachbarte Gewinnzahlen:

Benachbarte Gewinnzahlen
Gesuchte Zahlen
Möglichkeiten
x1, x2 und x3, x4
x1, x3, x5, x6
Formel 09
x1, x2 und x4, x5
x1, x3, x4, x6
Formel 09
x1, x2 und x5, x6
x1, x3, x4, x5
Formel 09
x2, x3 und x4, x5
x1, x2, x4, x6
Formel 09
x2, x3 und x5, x6
x1, x2, x4, x6
Formel 09
x3, x4 und x5, x6
x1, x2, x3, x5
Formel 09

Formel 15


Dreimal zwei benachbarte Gewinnzahlen:

Benachbarte Gewinnzahlen
Gesuchte Zahlen
Möglichkeiten
x1, x2 sowie x3, x4 und x5, x6
x1, x3, x5
Formel 07

Formel 16
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