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Mathematikaufgaben online lösen
Sonntag, 23.07.2017, 20:49 Uhr
Daß die Addition zweier natürlicher Zahlen mit Hilfe der menschlichen Finger durchgeführt werden kann, ist allgemein bekannt.
Aber selbst die Multiplikation zweier natürlicher Zahlen läßt sich - wenn auch in begrenztem Umfang - mit Hilfe der Finger bewerkstelligen.
So kann etwa die Rechnung 6 x 8 wie folgt durchgeführt werden:

An einer Hand wird 1 Finger (6 liegt 1 Einheit über 5), an der anderen Hand werden 3 Finger (8 liegt drei Einheiten über 5) gestreckt.
Nun wird die Summe der ausgestreckten Finger (1 + 3) mit 10 multipliziert und zum Produkt der eingezogenen Finger (4.2) addiert.
Dies liefert insgesamt:
(1 + 3).10 + 4.2 = 48.

Generell erhält man für zwei Zahlen a und b aus dem Wertebereich {5, ..., 10} für die Zahl der ausgestreckten Finger die Werte

a - 5 bzw. b - 5

und für die Zahl der eingezogenen Finger die Werte

5 - (a - 5) = 10 - a bzw. 10 - b.

Damit ergibt sich:

(a + b - 10).10 + (10 - a).(10 - b) = ab.

Liegen nun allgemein die beiden Faktoren a und b im Wertebereich
{10.(d - 1) + 5 = 10d - 5, ... , 10.(d - 1) + 10 = 10d},
so beträgt die Anzahl der gestreckten Finger

a + 5 - 10d bzw. b + 5 - 10d

und die Anzahl der eingezogenen Finger

10d - a bzw. 10d - b.

Wird nun die Summe a + b + 10 - 20d der ausgestreckten Finger mit einem - vorerst noch unbekannten - Faktor x multipliziert und zum Produkt (10 - a).(10 - b) der eingezogenen Finger addiert, so erhält man

x.(a + b + 10 - 20d) + (10d - a).(10 - b).

Setzt man x = 10d, so ergibt sich

10d.(a + b + 10 - 20d) + (10d - a).(10d - b) = ab - 100d(d - 1).

Um das gewünschte Produkt ab zu erhalten,
addiert man daher zur ursprünglichen Rechenvorschrift

10d.(Summe der ausgestreckten Finger)

+ (Produkt der eingezogenen Finger)

das Produkt 100d(d - 1).

Damit erhält man für zwei Faktoren aus dem Wertebereich {10d - 5, ..., 10d}:

10d.(Summe der ausgestreckten Finger)

+ (Produkt der eingezogenen Finger)

+ 100d(d - 1)
.

Sind jedoch beide Faktoren aus der ersten Dekadenhälfte, so ist es günstiger, anstelle des Produktes der eingezogenen Finger das Produkt der ausgestreckten Finger zu verwenden, wie das Beispiel der Multiplikation 11 x 13 zeigt:

An einer Hand wird 1 Finger (11 liegt 1 Einheit über 10 !), an der anderen Hand werden 3 Finger (13 liegt 3 Einheiten über 10) gestreckt. Multipliziert man jetzt die Summe der ausgestreckten Finger (1 + 3) mit 10 und addiert dieses Produkt zum Produkt der ausgestreckten Finger (1.3), so erhält man
(1 + 3).10 + 1.3 = 43.
Das gesuchte Produkt 143 ergibt sich letztlich durch Addition der Zahl 100.


Allgemein beträgt für zwei Faktoren a und b aus dem Wertebereich {10, ..., 15} die Zahl der ausgestreckten Finger

a - 10 bzw. b - 10

und die Zahl der eingezogenen Finger

5 - (a - 10) = 15 - a bzw. 15 - b.

Multipliziert man also die Summe der ausgestreckten Finger a + b - 20 mit 10 und addiert man dieses Produkt zum Produkt (a - 10).(b - 10) der eingezogenen Finger, so ergibt sich

(a + b - 20).10 + (a - 10).(b - 10) = ab - 100.

Für das gewünschte Produkt ab muß daher
noch die Konstante 100 addiert werden.

Bleibt zum Schluß noch die Frage, wie bei zwei Faktoren a und b aus dem Wertebereich {10.(d - 1) = 10d - 10, ..., 10.(d - 1) + 5 = 10d - 5} vorzugehen ist.
In diesem Fall beträgt die Zahl der ausgestreckten Finger

a - (10d - 10) = a + 10 - 10d bzw. b + 10 - 10d

und die Zahl der eingezogenen Finger

5 - (a + 10 - 10d) = 10d - 5 -a bzw. 10d - 5 - b.

Multipliziert man daher die Summe a + b + 20 - 20d der ausgestreckten Finger mit einem - wiederum zunächst noch unbekannten - Faktor x und addiert man dieses Ergebnis zum Produkt (a + 10 - 10d).(b + 10 - 10d) der ausgestreckten Finger, so gilt:

x(a + b + 20 - 20d) + (a +10 - 10d).(b + 10 - 10d).

Setzt man x = 10(d - 1), so ergibt sich:

x(a + b + 20 - 20d) + (a +10 - 10d).(b + 10 - 10d) =

= ab - 100 + 200d - 100d2 = ab - 100(d - 1)2
.

Für das gewünschte Produkt ab muß daher zur bisherigen Rechenvorschrift noch das Produkt 100(d - 1) addiert werden.

Somit gilt für zwei Faktoren a und b aus dem Wertebereich {10d - 10, ..., 10d - 5}:

10.(d - 1).(Summe der ausgestreckten Finger)

+ (Produkt der ausgestreckten Finger)

+ 100(d - 1)
.

Übrigens:

Liegen die beiden Faktoren a und b in verschiedenen Dekaden bzw. Dekadenhälften, so kann dieses Verfahren durch die Aufspaltung der Faktoren in einzelne Summen verfeinert werden.
Die Fingermultiplikation
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