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ZAHLENJAGD

Denksport mit Gewinnmöglichkeit
Donnerstag, 21.09.2017, 01:46 Uhr
Zwei Frauen wollen auf dem Wochenmarkt jeweils 30 Stück Bananen verkaufen. Die erste Frau verlangt für zwei Bananen € 0,50 Cent, die zweite Frau für drei Bananen € 1,--.
Somit hofft die erste Frau auf eine Einnahme von € 7,50, die zweite auf eine Einnahme von € 10,--.
Um miteinander plauschen zu können, beschliessen sie, ihre Bananen gemeinsam zu verkaufen.
Sie legen einen gemeinschaftlichen Verkaufspreis von € 1,50 für fünf Bananen fest, weil die erste Frau zwei Bananen für € 1,50 und die zweite Frau drei Bananen für € 1,-- verkauft.
Da sich die erste Frau € 7,50 und die zweite Frau € 10,-- Einnahme erhofft, gehen sie von einer gemeinschaftlichen Einnahme von € 17,50 aus.
Zu ihrer Überraschung nehmen sie sogar € 18,-- ein.

Wie kann das geschehen ?

Grund für die Erhöhung des Gesamterlöses ist die Tatsache, daß durch das Zusammenlegen der beiden Bananenmengen der Einzelpreis für eine Banane verändert wird.
Während sich der Preis für eine Banane vor der Zusammenlegung
durch die Gleichung

(30.(€ 0,50/2) + 30.(€ 1,--/3))/60 = € 0,2916

beschreiben lässt, so gilt nach der Zusammenlegung der Bananen die Gleichung

(30.(€ 1,50/5) + 30.(€ 1,50/5))/60 = € 0,30.

Dadurch erzielt die erste Frau einen Gesamtgewinn von € 1,50, während die zweite Frau einen Gesamtverlust von € 1,-- zu verzeichnen hat.
Der gemeinschaftliche Gewinn der beiden Frauen beträgt daher € 0,50.

Interessant ist an dieser Stelle eine Variation des Beispiels:

Hätte nämlich die erste Frau ursprünglich € 0,50 für zwei Bananen, die zweite Frau ursprünglich € 0,50 für drei Bananen verlangt und wäre der gemeinschaftliche Verkaufspreis für fünf Bananen auf € 1,-- festgelegt worden, so würden sich für den Einzelpreis folgende Gleichungen ergeben:

(30.(€ 0,50/2) + 30.(€ 0,50/3))/60 = € 0,2083
(vor der Zusammenlegung)

(30.(€ 1,--/5) + 30.(€ 1,--/5))/60 = € 0,20
(nach der Zusammenlegung)

In diesem Fall hat die erste Frau einen Gesamtverlust von € 1,50 und die zweite Frau einen Gesamtgewinn von € 1,--.
Daraus ergibt sich ein gemeinschaftlicher Verlust von € 0,50.

Dies wirft die Frage auf:
Gibt es einen Einzelpreis € x,--, bei dem die Zusammenlegung keine Veränderung des gemeinschaftlichen Verkaufserlöses verursacht ?

In diesem Fall darf der Einzelpreis pro Banane durch die Zusammenlegung nicht verändert werden, d.h. es muss gelten:

(30.(€ x,--/2) + 30.(€ x,--/3))/60 = (30.(€ 2x,--/5) + 30.(€ 2x,--/5))/60

Durch Multiplikation mit 60 und anschließende Division durch 30 ergibt sich:

(x/2) + (x/3) = (4x/5)

Diese Gleichung ist nur für x = 0 gültig, d.h. eine Zusammenlegung der Bananen verändert (mit Ausnahme eines "Preises" von € 0,--) stets den gemeinschaftlichen Verkaufserlös.

Zum Schluss wird noch sei noch folgende Frage beantwortet:

Welchen Preis hätte die zweite Frau ursprünglich für drei Bananen verlangen müssen, damit der gemeinschaftliche Verkaufserlös durch das Zusammenlegen nicht verändert wird ?

In diesem Fall muss gelten:

(30.(€ 0,50/2) + 30.(€ x,--/3))/60 =
= (30.(€ ((x,-- + 0,50)/5)) + 30.(€ ((x,-- + 0,50)/5)))/60


0,25 + (x/3) = (2x/5) + 0,2

3,75 + 5x = 6x + 3

x = 0,75

Die zweite Frau müsste also den gleichen Einzelpreis pro Banane
(€ 0,25 pro Banane = € 0,75 für drei Bananen) wie die erste Frau
(€ 0,25 pro Banane = € 0,50 für zwei Bananen) verlangen.

Übrigens:

Bei gleichem Einzelpreis und gleicher Verkaufsmenge bleibt der gemeinschaftliche Verkaufserlös nach dem Zusammenlegen
stets gleich, denn es gilt für einen Einzelpreis von € p,-- pro Banane
und für eine Verkaufsmenge m:

(m.(€ 2p,--/2) + m.(€ 3p,--/3))/60 =
= (m.(€ 5p,--/5) + m.(€ 5p,--/5))/60


(m.p)/60 + (m.p)/60 = (m.p)/60 + (m.p)/60

p = p.
Schwieriger Verkauf
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