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ZAHLENJAGD

Denksport mit Gewinnmöglichkeit
Sonntag, 23.07.2017, 20:51 Uhr
Ausgangspunkt für diesen Trugschluss–Klassiker ist das Festlegen der Variablen x (Gewicht der Mücke) und y (Gewicht des Elefanten).
Zusätzlich kann die Summe der beiden Gewichte durch den Term 2z beschrieben werden. Somit können z.B. die beiden folgenden Gleichungen aufgestellt werden.

x - 2z = -y

x = -y + 2z

Aufgrund der Beziehung

a = c und b = da.b = c.b = c.d

können die beiden linken und die beiden rechten Seiten
jeweils miteinander multipliziert werden.
Dies liefert die Gleichung

x2 - 2.x.z = y2 - 2.y.z

Nun kann auf jeder der beiden Seiten der Term z2 addiert werden,
wodurch sich jeweils ein vollständiges Quadrat ergibt.
Es gilt also:

x2 - 2.x.z + z2 = y2 - 2.y.z + z2

Aufgrund der (zweiten) binomischen Formel
(a - b)2 = a2 - 2.a.b + b2gilt somit:

(x - z)2 = (y - z)2

Zieht man nun auf beiden Seiten die (Quadrat-)Wurzel,
so führt dies zur Gleichung

(x - z) = (y - z)

Schließlich erzeugt die Subtraktion des Wertes z auf beiden Seiten
die Gleichung

x = y

Dies bedeutet, daß das Gewicht der Mücke (x) gleich
dem Gewicht des Elefanten (y) ist,
was zweifelsohne einen Widerspruch zur Ausgangssituation darstellt.

Aber wo ist der Trugschluss ?

Am einfachsten kann der Fehler durch das Einsetzen kleiner (positiver) Zahlenwerte für die Variablen x und y gefunden werden.
Für die konkreten Werte x = 20 und y = 4
erhält man für die Summe 2z den Wert 24
bzw. für die Variable z den Wert 12.

Nun werden mit Hilfe einer Tabelle die Umformungsschritte
für die konkreten Zahlenwerte durchgeführt.

x - 2z = -y
4 - 24 = -20

x = -y + 2z
4 = -20 + 24

x2 - 2.x.z = y2 - 2.y.z
42 - 4.24 = 202 - 20.24

(x - z)2 = (y - z)2
(4 - 12)2 = (20 - 12)2

x - z = y - z
4 - 12 = 20 - 12
 
Widerspruch

Der Fehler liegt somit beim (Quadrat-)Wurzelziehen,

denn aus der Gleichung x2 = 4 mit der Lösungsmenge L = {-2, 2}

folgt nicht automatisch die Gleichung x = 2,

da auch x = -2 eine Lösung der Gleichung x2 = 4 ist.

Fazit:

Beim (Quadrat-)Wurzelziehen muß stets auch die negative Lösung berücksichtigt werden.
Die Mücke und der Elefant
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