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ZAHLENJAGD

Denksport mit Gewinnmöglichkeit
Donnerstag, 27.07.2017, 10:52 Uhr
Für die Erstellung eines magischen Zahlenquadrates mit einer vorgegebenen Zeilen-, Spalten- und Diagonalensumme kann - in Anlehnung an die Kandidaten-Methode - das Basisquadrat

 
 
 
 
 
 
1
12
7
20
11
8
 
2
21
5
10
3
 
18
4
 
6
9
19
20
19
21
18
 

prinzipiell mit jeder natürlichen Zahl von 1 bis [Summe/22] multipliziert und mit Hilfe der Subtraktionen Summe - 20. Hilfszahl, Summe - 21. Hilfszahl, Summe - 18. Hilfszahl sowie Summe - 19. Hilfszahl erstellt werden.
Für die - in der Sendung "Wetten, dass ... ?" vorgegebene - Summe 216.784 kann daher maximal die Hilfszahl 9853 verwendet werden, wodurch sich das magische Quadrat

 
 
 
 
216.784
19.724
9.853
118.236
68.971
216.784
108.383
78.824
9.871
19.706
216.784
49.265
98.530
29.559
39.430
216.784
39.412
29.577
59.118
88.677
216.784
216.784
216.784
216.784
216.784
216.784

welches aus lauter verschiedenen Werten besteht, ergibt.
Hat jedoch eine vorgegebene Summe (mindestens) einen (natürlichen) Teiler x mit der Eigenschaft 21 < x < 34, so führt die Verwendung der Hilfszahl (Summe/x) zwar zu einem magischen Quadrat, jedoch besitzt dieses nicht 16 verschiedene Feldeinträge.
Da die Zahl 216.784 die Primfaktorenzerlegung 24.17.797 besitzt, gibt es keinen (natürlichen) Teiler x mit der Eigenschaft 21 < x < 34.
Es führen also alle 9853 (natürlichen) Hilfszahlen zu einem magischen Quadrat mit verschiedenen Feldeintrgen.
Hingegen besitzt die Zahl 216.783 aufgrund der Primfaktorenzerlegung 33.7.31.37 die beiden (kritischen) Teiler x1 = 27 und x2 = 31.
Die Verwendung der beiden Hilfszahlen (Summe/x1) = 8029 und (Summe/x2) = 6993 liefert daher die magischen Quadrate:

 
 
 
 
216.783
56.203
8.029
96.348
56.203
216.783
88.319
64.232
48.174
16.058
216.783
40.145
80.290
24.087
72.261
216.783
32.116
64.232
48.174
72.261
216.783
216.783
216.783
216.783
216.783
216.783

und

 
 
 
 
216.783
76.923
6.993
83.916
48.951
216.783
76.923
55.944
69.930
13.986
216.783
34.965
69.930
20.979
90.909
216.783
27.972
83.916
41.958
62.937
216.783
216.783
216.783
216.783
216.783
216.783

In jedem dieser beiden magischen Quadrate gibt es mindestens zwei Felder mit einem gleichen Feldeintrag.
Um dies zu vermeiden, macht man sich folgende Überlegung zunutze:
Dividiert man die beiden letzten magischen Quadrate durch ihre jeweiligen Hilfszahlen, so erhält man die beiden Quadrate

 
 
 
 
27
7
1
12
7
27
11
8
6
2
27
5
10
3
9
27
4
8
6
9
27
27
27
27
27
27

und

 
 
 
 
31
11
1
12
7
31
11
8
10
2
31
5
10
3
13
31
4
12
6
9
31
31
31
31
31
31

Das erste magische Quadrate besitzt als Summenzahl den Teiler x1 = 27, das zweite den Teiler x2 = 31.
Sollen jedoch in allen Feldern verschiedene Werte enthalten sein, so muss die Summenzahl eines magischen Quadrates (der Grösse 4 x 4) mindestens 34 sein. Dies bedeutet, daß die Hilfszahl für ein magisches Quadrat mit 16 verschiedenen Werten maximal [Summe/34] sein kann.
Um also zu einer vorgegebenen Summenzahl ein magisches Quadrat mit lauter verschiedenen Feldeinträgen zu entwickeln, kann das am Beginn dieser Folge angeführte Basisquadrat mit jeder natürlichen Zahl von 1 bis [Summe/34] multipliziert und anschließend mit Hilfe der Differenzen Summe - 20. Hilfszahl, Summe - 21. Hilfszahl, Summe - 18. Hilfszahl sowie Summe - 19. Hilfszahl erstellt werden.

Übrigens:

Legt man sich von vornherein auf eine bestimmte Hilfszahl fest, so führen genau die zwölf Summenwerte 22. Hilfszahl, 23. Hilfszahl, ... , 33. Hilfszahl zu magischen Quadraten, bei denen mindestens zwei Felder einen gleichen Wert besitzen.
Für die in der Sendung "Wetten, dass ...?" verwendete Hilfszahl 4.096 lauten somit die zwölf "kritischen" Summenzahlen: 90.112, 94.208, 98.304, 102.400, 106.496, 110.592, 114.688, 118.784, 122.880, 126.976, 131.072 und 135.168
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