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Denksport mit Gewinnmöglichkeit
Donnerstag, 27.07.2017, 10:52 Uhr
Vor knapp 2500 Jahren stellte der griechische Philosoph Zenon von Elea folgendes Problem auf:

"Der schnellfüssige Achilles folgt einer Schildkröte, die sich ein Stadion (rund 180 Meter) vor ihm befindet. Er läuft zehnmal so schnell wie die Schildkröte, sodaß sie ihm (1/10) Stadion voraus ist, wenn er am Startpunkt der Schildkröte eintrifft.
Durchläuft Achilles nun diese (kurze) Strecke, so hat die Schildkröte immer noch einen Vorsprung von (1/100) Stadion. Achilles wird also die Schildkröte niemals einholen."


Zenons Trugschluß beruht auf der Annahme, daß eine Summe aus unendlich vielen Summanden auch eine unendlich grossen Summenwert haben müsse.
Bezeichnet man mit t die Sekundenzahl, in der Achilles eine Strecke von 1 Stadion durchläuft, so erhält man:

Position in Metern
Zeit in Sekunden
Achilles
Schildkröte
 
 
 
 
0
180
0
180
180 + 18
t
180 + 18
180 + 18 + 1,8
t + (t/10)
180 + 18 + 1,8
180 + 18 + 1,8 + 0,18
t + (t/10) + (t/100)


Setzt man diesen Prozeß beliebig fort, so erhält man für die einzelnen Zeitabschnitte, in denen Achilles die jeweiligen Streckenlängen 1 Stadion, (1/10) Stadion, (1/100) Stadion, ... durchläuft, die geometrische Folge

<t, (t/10), (t/100), ...>

sowie für seine Gesamtlaufzeit die (unendliche) geometrische Reihe

t + (t/10) + (t/100) + ...

Diese Summe besitzt, da jeder folgende Summand genau ein Zehntel des vorhergehenden Summanden ist, den Wert t/(1-(1/10)) = 10t/9.
Achilles hat somit die Schildkröte nach 10t/9 Sekunden eingeholt.
Da er in t Sekunden eine Strecke von 180 Metern zurücklegt, geschieht dieser Vorgang genau 180.(10t)/9 = 200 Meter nach seinem Start.
Achill und die Schildkröte
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