norbertsaeumel.at
ZAHLENJAGD

Denksport mit Gewinnmöglichkeit
Mittwoch, 20.09.2017, 23:43 Uhr
Eine Sekretärin schreibt fünf Briefe (mit verschiedenem Inhalt) und adressiert fünf Umschläge (mit verschiedenen Adressen). Anschließend steckt sie jeweils einen Brief - ohne auf die jeweilige Adresse zu achten - willkürlich in einen (noch leeren) Umschlag.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens ein Brief in den richtigen Umschlag gelangt ?

Bezeichnet man mit an die Anzahl der Möglichkeiten, daß bei n Briefen und n Umschlägen kein Brief im richtigen Umschlag landet, so gelten
a1 = 0 (ein Brief landet bei einem Umschlag stets in diesem)
und
a2 = 1 (bei zwei Briefen und zwei Umschlägen gibt es eine richtige und eine falsche Variante).

Für die Zahlen a3 und a4 gelten folgende Tabellen:

Umschlag
1
2
3
Brief
3
1
2
 
2
3
1

Umschlag
1
2
3
4
Brief
2
1
4
3
 
3
1
4
2
 
4
1
2
3
 
2
4
1
3
 
3
4
1
2
 
4
3
1
2
 
2
3
4
1
 
3
4
2
1
 
4
3
2
1

Es gelten somit a3 = 2 und a4 = 9, wobei der Wert 9 für die Variable a4 auch durch folgende Überlegung erhalten werden kann:

Betrachtet man zunächst jene Fälle, in denen Brief 1 in Umschlag 2 landet, so kann folgende Unterscheidung durchgeführt werden:
Steckt Brief 1 in Umschlag 2 und Brief 2 in Umschlag 1, so können die restlichen 4 - 2 = 2 Briefe auf a2 = 1 Art den verbleibenden 4 - 2 = 2 Umschlägen falsch zugeteilt werden.
Steckt jedoch Brief 1 in Umschlag 2 und Brief 2 nicht in Umschlag 1, so können die drei Briefe 2, 3 und 4 den drei verbleibenden Umschlägen 1, 3 und 4 auf genau a3 = 2 Arten falsch zugeordnet werden (und zwar genau dann, wenn Brief 2 nicht in Umschlag 2, Brief 3 nicht in Umschlag 3 und Brief 4 nicht in Umschlag 4 landen).

Die bisherige Gesamtzahl a3 + a2 muß nun noch mit 3 multipliziert werden, da Brief 1 (fälschlicherweise) nicht nur in Umschlag 2, sondern auch in Umschlag 3 oder in Umschlag 4 gelangen kann.

Es gilt daher

a4 = 3.(a3 + a2)

und in Verallgemeinerung

an = (n - 1).(an - 1 + an - 2).

Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit benötigt man daher zum einen die Formel a5 = 4.(a4 + a3) und zum anderen die Tatsache, daß fünf Briefe fünf Umschlägen auf genau 5! = 120 Arten willkürlich zugeordnet werden können.
Damit ergibt sich:

P(E) = 1 - (44/120) = (19/30).

Und wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß genau (0 ≤) k (≤ 5) Briefe im jeweils richtigen Kuvert landen ?

Trivialerweise gibt es bei fünf Briefen und fünf Umschlägen genau eine Möglichkeit, daß alle fünf Briefe im jeweils richtigen Kuvert landen (d.h. P(X = 5) = (1/5!)), und zugleich keine Möglichkeit, daß genau vier der fünf Briefe in den richtigen Umschlag gesteckt werden (d.h. P(X = 4) = 0).

Für die Wahrscheinlichkeiten P(X = 0) bis P(X = 3) gilt:

Es gibt genau Formel 01 Möglichkeiten, daß von fünf Briefen genau k Briefe im richtigen Umschlag sind, zugleich können die restlichen 5 - k Briefe auf genau a5 - k Arten in einen falschen Umschlag gelegt werden.

Damit erhält man für 0 ≤ k ≤ 3:

Formel 02

Die Zufallsvariable X = "Anzahl der Briefe im richtigen Umschlag" besitzt also folgende Verteilung:

Formel 03

Formel 04

Formel 05

Formel 06

Formel 07

Formel 08

Bleibt zum Schluß dieses Artikels noch die allgemeine Fragestellung:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei n Briefen und n Umschlägen genau (0 ≤) k (≤ n) Briefe im jeweils richtigen Kuvert landen ?

Hier ist es günstig, zuerst eine explizite Darstellung für die Zahl an (Möglichkeiten, daß keiner der n Briefe im jeweils richtigen Kuvert landet) zu entwickeln.

Aus den Formeln a3 = 2.(a2 + a1), a4 = 3.(a3 + a2) und a5 = 4.(a4 + a3) erhält man durch Umformen bzw. Ergänzen:

a3 = 2.(a2 + a1)
a3 - 2.a2 = 2a1
a3 - 3.a2 = - a2 + 2a1
a4 = 3.(a3 + a2)
a4 - 3.a3 = 3a2
a4 - 4.a3 = - a3 + 3a2
a5 = 4.(a4 + a3)
a5 - 4.a4 = 4a3
a5 - 5.a4 = - a4 + 4a3

Nun gilt etwa

a5 - 5.a4 = - a4 + 4a3 = - (a3 + 3a2) = - (- (- a2 + 2a1)) = - a2 + 2a1 = -1

und in Verallgemeinerung:

an - n.an - 1 = - an - 1 + (n - 1)an - 2 = (-1)[an - 1 - (n - 1)an - 2] =

= (-1)2[an - 2 - (n - 2)an - 3] = ... = (-1)n - 2(a2 - 2a1 = (-1)n - 2 = (-1)n


Daraus erhält man die Gleichung

an - n.an - 1 = (-1)n,

welche durch Umformung und anschließende Division durch n! in die Gleichung

Formel 09

bzw.

Formel 10

übergeht.

Setzt man nun 0! = 1, so kann die letzte Gleichung aufgrund der Summengleichheit

Formel 11

auch in der Form

Formel 12

dargestellt werden.

Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit P(X = k), daß bei n Briefen und n Umschlägen genau (0 ≤) k (≤ n) Briefe im jeweils richtigen Kuvert landen, gilt daher:

Es gibt genau Formel 13 Möglichkeiten, daß exakt k Briefe in das richtige Kuvert gelangen und genau an - k Möglichkeiten, daß jeder der restlichen n - k Briefe in einen falschen Umschlag gesteckt wird.
Da alle n Briefe den n Umschlägen prinzipiell auf n! Arten zugeteilt werden können, erhält man somit:

Formel 14

Dabei gelten insbesondere

Formel 15

und

Formel 16.
Vertauschte Briefe
IMPRESSUM
Req: 142552
IP: 54.162.10.211