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Mathematikaufgaben online lösen
Donnerstag, 27.07.2017, 10:51 Uhr
Seit 29. Juni 2008 gibt es bei der im Rahmen des österreichischen Lottos "6 aus 45" stattfindenden Joker-Ziehung eine zusätzliche Gewinnklasse, die einen Gewinn von € 1,50 bei richtiger Endziffer der Jokerzahl ermöglicht.
Damit ist die Chance, mittels einer Jokerzahl in eine der nun sechs Gewinnklassen zu fallen, auf mehr als das Zehnfache gestiegen.
Da jedoch gleichzeitig der Einsatz pro Jokerspiel von € 1,-- auf € 1,30 angehoben wurde, stellt sich die Frage, ob die Gewinnerwartung für eine Jokerzahl pro Ziehung (wenn nicht schon gestiegen, so doch) zumindest gleich geblieben ist.
Die Antwort liefert ein Blick in die Gewinnerwartungstabelle:

Rang
RZ
Chance
Gewinn
Erw bis 260608
Erw ab 290608
 
 
 
 
 
 
1
6
1 / 1 Mio.
Quote
Quote / 1 Mio.
Quote / 1 Mio.
2
5
10 / 1 Mio.
€ 7.700,00
0,077
0,077
3
4
100 / 1 Mio.
€ 770,00
0,077
0,077
4
3
1000 / 1 Mio.
€ 77,00
0,077
0,077
5
2
10000 / 1 Mio.
€ 7,00
0,07
0,07
6
1
100000 / 1 Mio.
€ 1,50
-
0,15
 
 
888889 / 1 Mio.
- € 1,00
- 0,888889
-
 
 
 
- € 1,30
-
- 1,1555
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Saldo
Quote / 1 Mio.
- € 0,587889
Quote / 1 Mio.
- € 0,704557

Die Gewinnerwartung ist also pro Jokerspiel um rund € 0,1166 gesunken.
Bleibt die Frage, wie hoch der neue Jokereinsatz sein müsste, um die bisherige Gewinnerwartung wiederherzustellen.
Bezeichnet man diesen Jokereinsatz mit xgleich, so muss gelten:

0,15 - (888889/1 Mio.)xgleich = - 0,888889.

Dies liefert für die Variable xgleich den Wert 1,16875.
Wäre also der neue Jokereinsatz rund € 1,17, so würde neben der nun mehr als zehnfach so hohen Gewinnerwartung auf das Erreichen (irgend-)einer Gewinnklasse auch die bisherige Gewinnerwartung erhalten bleiben.

Und bei welchem Einsatz ist das Jokerspiel fair ?

Ein (Glücks-)Spiel gilt als fair, wenn sich Gewinn und Verlust die Waage halten, die Gewinnerwartung also 0 beträgt.
Für das (neue) Jokerspiel mit einem Einsatz von xfair bedeutet dies:

(Quote/1 Mio.) + 0,451 - (888889/1 Mio.)xfair = 0.

Daraus ergibt sich: xfair = (Quote + 451000)/888889.

So wäre etwa das Jokerspiel bei einem Spieleinsatz von € 0,70 und einer Quote von € 171.222,30 für den ersten Gewinnrang fair.

Übrigens: Setzt man für xfair in die letzte Gleichung den aktuellen Jokereinsatz von € 1,30 ein, so erhält man eine Quote von € 704.555,70, d.h. das Jokerspiel ist bei einem Spieleinsatz von € 1,30 dann (und nur dann !) fair, wenn die Quote für die erste Gewinnklasse exakt € 704.555,70 beträgt.
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